Consigne: Soient \(T\) et \(U\) deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramètres \(\alpha\) et \(\beta\) (avec \(\alpha,\beta\) fixés dans \(]0,1[\))
Calculer la loi de leur somme \(T+U\), dans le cas où \(\alpha\ne\beta\), puis dans le cas où \(\alpha=\beta\)
En déduire que, quand \(\alpha=\beta\), \(T+U\) est la loi du second succès dans une suite d'épreuves indépendantes, où la probabilité de succès vaut \(\alpha\)
Calcul de la série dans le cas \(\alpha\ne\beta\) $$\begin{align} P(T+U=k)&=\sum^{k-1}_{i=1}P(T=i,U=k-i)\\ &=\sum^{k-1}_{i=1}P(T=i)P(U=k-i)\\ &=\sum^{k-1}_{i=1}\alpha(1-\alpha)^{i-1}\beta(1-\beta)^{k-i-1}\\ &={\alpha\beta(1-\beta)^k\over(1-\alpha)(1-\beta)}\sum^{k-1}_{i=1}\left(\frac{1-\alpha}{1-\beta}\right)^i\tag1\\ \text{si }\alpha\ne\beta,\qquad\qquad&=\frac{\alpha\beta(1-\beta)^k}{(1-\alpha)(1-\beta)}\cfrac{\left(\cfrac{1-\alpha}{1-\beta}\right)^1-\left(\cfrac{1-\alpha}{1-\beta}\right)^k}{1-\cfrac{1-\alpha}{1-\beta}}\end{align}$$
Simplification $$\begin{align}&=\alpha\beta\frac{\left(\cfrac{1-\alpha}{1-\beta}\right)(1-\beta)^k-(1-\alpha)^k}{(1-\alpha)(1-\beta-(1-\alpha))}\\ &=\alpha\beta{(1-\alpha)(1-\beta)^{k-1}-(1-\alpha)^k\over(1-\alpha)(\alpha-\beta)}\\ &=\alpha\beta{(1-\beta)^{k-1}-(1-\alpha)^{k-1}\over\alpha-\beta}\end{align}$$
On a bien la symétrie avec \(\alpha\) et \(\beta\), donc ça a l'air correct
Calcul dans le cas \(\alpha=\beta\) D'après \((1)\), si \(\alpha=\beta\), alors on a : $$\begin{align} P(T+U=k)&=\alpha^2(1-\alpha)^{k-2}\sum^{k-1}_{i=1}1\\ &=(k-1)\alpha^2(1-\alpha)^{k-2}\end{align}$$
Explication
En effet, \(T\) est le nombre de tentatives jusqu'au premier succès et \(V\) le nombre de tentatives après le premier succès pour obtenir un autre succès
Donc \(T+U\) est le nombre de tentatives pour obtenir le deuxième succès, dans une suite de tentatives indépendantes avec proba de succès \(\alpha\)
Donc le facteur \(\alpha^2(1-\alpha)^{k-2}\) correspond donc au fait que, dans les \(n\) premières tentatives, il y a \(2\) succès et \(n-2\) échecs
Et le facteur \(k-1\) correspond au fait qu'il faut placer le premier succès parmi les \(k-1\) tentatives